Ξεκινήστε προθερμαίνοντας τον φούρνο στους 200 βαθμούς. Αλείψτε ελαφρώς με ελαιόλαδο ένα στρογγυλό ή τετράγωνο ταψί (ό,τι θέλετε). Βάλτε το ταψί σας στην άκρη.
Συνεχίστε ζεσταίνοντας σε ένα τηγάνι το ελαιόλαδο. Μόλις ζεσταθεί ρίξτε μέσα τα μανιτάρια και μαγειρέψτε για 8 λεπτά μέχρι να αρχίσουν να γίνονται καφέ. Προσθέστε τα καρότα, το σέλινο, το σκόρδο σε σκόνη, το αλάτι και το πιπέρι. Μαγειρέψτε για ακόμα 3 λεπτά.
Έπειτα ρίξτε το αλεύρι και μαγειρέψτε για ακόμα 2 λεπτά. Σιγά-σιγά προσθέστε το γάλα αμυγδάλου και ανακάτευετε καθώς το κάνετε. Μαγειρέψτε για ακόμα 5 λεπτά. Ρίξτε μέσα το κοτόπουλο και το θυμάρι.
Βάλτε όλο το μείγμα μέσα στο ταψί σας και με το φύλλο για πίτες καλύψτε το.
Με ένα πινέλο περάστε όλη την επιφάνεια με το αυγό σας. Εφαρμόστε καλά τις άκρες του φύλλου σας γύρω-γύρω στο ταψί σας.
Με ένα μαχαίρι κάντε χαρακιές στην πίτα σας. Ψήστε για περίπου 25 λεπτά στους 180 βαθμούς. Ουσιαστικά θέλετε να ροδίσει το φύλλο σας. Άλλωστε όλα τα υλικά σας είναι ήδη μαγειρεμένα.
Τέλος αφήστε την κοτόπιτά σας να ξεκουραστεί για λίγο και έπειτα κόψτε την.