Ξεκινήστε προθερμαίνοντας τον φούρνο στους 200 βαθμούς.
Σε ένα ταψί απλώστε αντικολλητικό χαρτί. Ρίξτε μέσα τα καρότα, τις πατάτες, το σκόρδο, το θυμάρι, το δεντρολίβανο, αλάτι και πιπέρι και 1 κ.σ. ελαιόλαδο. Ανακατέψτε και βάλτε στον φούρνο.
Ψήστε για 20 λεπτά. Βγάλτε από τον φούρνο και προσθέστε τις μπάμιες μαζί με 1 κ.σ. ελαιόλαδο, αλάτι και πιπέρι. Ψήστε για 15 λεπτά.
Βγάλτε από τον φούρνο, ρίξτε από πάνω το τριμμένο τυρί και βάλτε στον φούρνο για ακόμα 5 λεπτά.
Στο μεταξύ ανακατέψτε σε ένα μπολάκι όλα τα υλικά για την σως. Με το που θα βγάλετε το φαγητό από τον φούρνο περιχύστε την σως, ανακατέψτε και σερβίρετε.
Φυσικά η σως δεν είναι υποχρεωτική και μπορείτε να μην την προσθέσετε. Το φαγητό είναι εξίσου νόστιμο και χωρίς την σως.